Diário do Leal Concursos - 04/12/2017 - Divisibilidade - Parte 1 - 40 questões resolvidas!

1) Substitua as letras y ou z de modo que o número:

a) 5.2y4 seja divisível por 3.

Solução: Ex.:  72 → 7 + 2 = 9 → M(3) → 72 é M(3);
612 → 6 + 1 + 2 = 9 → M(3) → 612 é M(3);
2746 → 2 + 7 + 4 + 6 = 19 : 3 → resto 1;

13467948 →  1 + 3 + 4 + 6 + 7 + 9 + 4 + 8 = 42 → 4 + 2 = 6 → M(3) → 42 é M(3) e 13467948 é M(3);
ou: ignorando o 3, 6 e 9 → 1 + 4 + 7 + 4 + 8 = 24 → M(3).

No nosso exercício: 5 + 2 + y + 4 = M(3) →
11 + y = M(3) → 11 + y = 12 → y = 1 ou 4 (1 + 3) ou 7 (4 + 3).

b) 4y5 seja divisível por 3.
Solução: 4 + y + 5 = M(3) → 9 + y = M(3) → 9 + y = 9 → y = 0 ou 3 ou 6 ou 9.

c) 1.2y8 seja divisível por 3.

Solução: 1 + 2 + y + 8 = M(3) → 11 + y = M(3) →  11 + y = 12 → y = 1 ou 4 ou 7.

d) 45y seja divisível por 2 e 9, simultaneamente.Solução: Ex.: 72 → 7 + 2 = 9 → M(9);

8163 → 8 + 1 + 6 + 3 = 18 → M(9);
462165 → 4 + 6 + 2 + 1 + 6 + 5 = 15 → resto 6;

No nosso exercício: 4 + 5 + y = M(9) → 9 + y = M(9) → 9 + y = 9 → y = 0 (serve) ou 9 (não serve);
Resp.: y = 0.

e) 1.24y seja divisível por 2 e 9, simultaneamente.

Solução: 1 + 2 + 4 + y = M(9) → 7 + y = M(9) →
7 + y = 9 → y = 2 (serve).

f) 20.28y seja divisível por 2 e 9, simultaneamente.
Solução: 2 +  2 + 8 + y = M(9) → 12 + y = M(9) →  12 + y = 18 → y = 6 (serve).

g) 4y8 seja divisível por 11.

Solução:  Ex.:  693 → + 3 – 9 + 6 = 0 → M(11) → 693 é M(11);
9856 → + 6 – 5 + 8 – 9 = 0 → M(11) → 9856 é M(11);
179564 → + 4 – 6 + 5 – 9 + 7 – 1 = 16 – 16 = 0 → M(11) → 176564 é M(11);
No nosso exercício: + 8 – y + 4 = M(11) → 12 – y = M(11) → 12 – y = 11 → y = 1.

h) 53.9y7 seja divisível por 11.
Solução: + 7 – y + 9 – 3 + 5 = M(11) → 18 – y = 11 → y = 7.

i) 4y687 seja divisível por 3.
Solução: 4 + y + 8 + 7 = M(3) → 19 + y = M(3) → 19 + y = 21 → y = 2 ou 5 ou 8;

j) 48y965y12 seja divisível por 3.
Solução: 4 + 8 + y + 5 + y + 1 + 2 = M(3) →
2y + 2 = M(3) → 2y + 2 = 3  → 2y = 1 → y = 1/2 (não serve);
2y + 2 = 6 → 2y = 4 → y = 2;
2y + 2 = 12 → 2y = 10 → y = 5;
2y + 2 = 18 → 2y = 16 → y = 8.

k) 71.8y9 seja divisível por 11.
Solução: + 9 – y + 8 – 1 + 7 = M(11) → 23 – y = M(11) → 23 – y = 22 → y = 1.

l) 4.y58 seja divisível por 9.
Solução: 4 + y + 5 + 8 = M(9) → y + 8 = 9 → y = 1.

m) 3.0y5 seja divisível por 3 e 9, simultaneamente.
Solução: M(3) e M(9) → M(9);
3 + y + 5 = M(9) → 8 + y = 9 → y = 1.

n) 35.6y4 seja divisível por 2 e 9, simultaneamente.
Solução: O número termina em 4, logo, ele é M(2);
3 + 5 + 6 + y + 4 = M(9) → y = M(9) → y = 0 ou 9.

o) y1.809 seja divisível por 11.

Solução: + 9 – 0 + 8 – 1 + y = M(11) → 16 + y = 22 → y = 6.

p) 538.43y seja divisível por 2 e 3, simultaneamente.
Solução: 5 + 8 + 4 + y = M(3) → 5 + y = 6 → y = 1 (não serve) ou 4 (serve) ou 7 (não serve).

q) 8y.35z seja divisível por 9 e 10, simultaneamente.
Solução: 1) z = 0;
2) 8 + y + 3 + 5 = M(9) → 16 + y = 18 → y = 2.

r) 3.y7z seja divisível por 3, 5, 9 e 10, simultaneamente.

Solução: 1) z = 0;
2) 3 + y + 7 = M(9) → 10 + y = 18 → y = 8.

s) 38.y2z seja divisível por 2, 5 e 9, simultaneamente.
Solução: M(2) e M(5) → M(10) → z = 0;
3 + 8 + y + 2 = M(9) → 13 + y = 18 → y = 5.

t) 71.y3z seja divisível por 2, 5 e 9, simultaneamente.
Solução: 1) z = 0;
2) 7 + 1 + y + 3 = M(9) → 11 + y = 18 → y = 7.

u) 3.47y seja divisível por 2 e 3, simultaneamente.
Solução: 4 + 7 + y = M(3) → 11 + y = 12 → y = 1 (não serve) ou 4 (serve) ou 7 (não serve).

v) 7.52y seja divisível por 2 e 3, simultaneamente.
Solução: 7 + 5 + 2 + y = M(3) → 2 + y = 3 → y = 1 (não serve) ou 4 (serve) ou 7 (não serve).

w) 5.y8z seja divisível por 5 e 11, simultaneamente.
Solução: 1) z = 0 → + 0 – 8 + y – 5 = M(11) → y – 13 = M(11) → y – 13 = – 11 → y = 2;
2) z = 5 → + 5 – 8 + y – 5 = M(11) → y – 8 = M(11) →
y – 8 = 0 → y = 8.

Os pares (y,z) que satisfazem ao problema são (2,0) e (8,5).

x) 25.01y seja divisível por 11.

Solução: + y – 1 + 0 – 5 + 2 = M(11) → y – 4 = M(11) → y – 4 = 0 → y = 4.

2) Determine o algarismo devem ser escritos em lugar de y e de z no número y.84z, que é menor que 3.000, para que ele seja ao mesmo tempo divisível por 5 e 9.

3) Determine o menor número a ser somado a 4.574, para que se obtenha um número ao mesmo tempo divisível por 9 e 2.

4) Determine o menor número a ser somado a 7.315, para que se obtenha um número divisível por 3.

5) Determine o valor de k para o qual o número 1k31k4 é divisível por 12 mas não é por 9.

Solução: M(12) = M(3) e M(4) ao mesmo tempo;
Ex.: 708 → 08 = 8 é M(4) → 708 é M(4);
8132 → 32 é M(4) → 8132 é M(4);
123456788 → 88 é M(4) → 123456788 é M(4);
1500 → M(4) pois termina em 00.

A regra de divisibilidade do 4 é a mesma da do 25.

No nosso exercício: 1) 1 + k + 1 + k + 4 = M(3) → 2k + 6 = M(3) → 2k = 12 → k = 6.

2) Testando a divisibilidade por 4: 163164 → 64 é M(4);

Resp.: 6

6) Substitua as letras y e z no número 4y5z, de modo que, dividido por 5 e por 9, deixe resto 2.

Solução: 1) z = 2 ou 7;
2) Fazendo z = 2 → 4 + y + 5 + 2 = M(9) + 2 → y + 2 = 0 + 2 → y = 0 ou 9;

3) Fazendo z = 7 → 4 + y + 5 + 7 = M(9) + 2 → y + 7 = 9 + 2 → y = 4.

Resp.: y = 0 ou 9 e z = 2 ou y = 4 e z = 7.

7) Escreva o maior número de quatro algarismos divisível, ao mesmo tempo, por 5 e 93.

Solução: M(5) e M(93) → M(5 x 93) → M(465);
10000 : 465 → quociente 21 e resto 235;
Logo: 10000 – 235 = 9765.

8) Se um número for divisível por 5 e por 3, então podemos afirmar que ele é divisível por:

a) 5 + 3 b) 5 − 3 c) 5 × 3 d) 5 ÷ 3

Solução: c

9) Para que o número 5.a3b seja divisível, ao mesmo tempo, por 2, 3, 5 e 9, o valor absoluto representado pela letra a deve ser:

a) 4      b) 0      c) 7      d) 1

Solução: 1)  M(2) e M(5) → M(10) → b = 0;
2) M(3) e M(9) → M(9) →5 + a + 3 = M(9) → 8 + a = 9 → a = 1.

Resp.: d

10) Para que o número 2.y78 seja divisível por 9, o valor da letra y deverá ser:

a) 1      b) 0      c) 3      d) 3

Solução: 2 + y + 7 + 8 = M(9) → y + 8 = 9 → y = 1.

11) Substituindo y e z no número 57.y3z, respectivamente, por algarismos que tornem esse número divisível por 2, 5 e 6, ao mesmo tempo, encontramos como possível resposta:

a) 7 e 5 b) 3 e 0 c) 7 e 0 d) 7 e 9

Solução: 1) M(2) e M(5) → z = 0;
2) M(6) → M(2) e M(3) ao mesmo tempo → como o número termina em zero, é par, basta garantir a divisibilidade por 3 →
5 + 7 + y = M(3) → y = 0, 3, 6 ou 9.

Resp.: b

12) O número 37.44y será divisível por 15 se y for o algarismo:

a) 7      b) 5      c) 3      d) 1      e) 0

Solução: M(15) → M(3) e M(5);

7 + 4 + 4 + y = M(3) → 15 + y = 15 → y = 0 (serve) ou 3 ou 6 ou 9 (não servem).

Resp.: e

13) O número 43.y72 será divisível por 6 se y for o algarismo:

a) 0      b) 1      c) 2      d) 3      e) 4

Solução:  M(6) → M(3) e M(2)
Como o número termina em 2, ele é par, basta garantir a divisibilidade por 3 → 4 + y = M(3) → y = 2 ou 5 ou 8.
Resp.: c

14) É divisível por 2, 3 e 5, simultaneamente, o número:

a) 235 b) 520 c) 230 d) 510 e) 532

Solução: 1) Divisível por 2 e 5 → divisível por 10 → termina em zero;
Testando a divisibilidade por 3, só serve o 510.
Resp.: d

15) Se o número 7y4 é divisível por 18, então o algarismo y:

a) não existe b) vale 4 c) vale 7 d) vale 9 e) vale 0

Solução: M(18) → M(2) e M(9) ao mesmo tempo;
Como o número termina em 4, ele é par. Basta garantir a divisibilidade por 9: 7 + y + 4 = M(9) → 11 + y = 18 → y = 7.
Resp.: c

16) Se 3.ybz é divisível, ao mesmo tempo, por 2 e 5, então z é igual a:

a) −2 b) −1 c) 2 d) 1 e) 0

Resp.: e

17) Que valor deve ser atribuído ao algarismo representado pela letra y para que o número 7.38y seja divisível, simultaneamente, por 2 e 9?

Solução: 1) y deve ser par;
2) 7 + 3 + 8 + y = M(9) → 18 + y = 18 → y = 0 (serve) ou 9 (não serve).

Resp.: zero

18) Substitua as letras a e b por algarismos, em 1a.16b, de modo que o número resultante seja múltiplo comum de 5, 2 e 9.

Solução: 1) b = 0;
2) 1 + a + 1 + 6 = M(9) → 8 + a = 9 → a = 1.