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aprendizagem.
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fundamentais;
2) Divisibilidade / Múltiplos e Divisores / Números Primos;
3) MMC e MDC; 4) Números Fracionários, decimais e dízimas periódicas;
5) Sistema Métrico Decimal; 6) Razões e Proporções; 7) Regras de Três;
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Capítulo 10
O Primeiro Grau
Prof. Bruno Leal
O Primeiro Grau
Prof. Bruno Leal
Nessa aula, vamos estudar alguns problemas clássicos que são resolvidos
através de equações ou sistemas de equações do primeiro grau. Acompanhe com bastante atenção cada etapa das
resoluções.
Vamos, antes de analisar os exercícios, lembrar
alguns cálculos corriqueiros envolvendo termos literais que acabam confundindo
muitos alunos. “x” representa um número
real qualquer.
1) x + x = 2x (um
número adicionado a si mesmo é igual ao seu dobro);
2) x – x = 0 (um
número subtraído de si mesmo é igual a zero);
3) x . x = x2 (um
número multiplicado por si mesmo é igual ao seu quadrado – muitos erram
escrevendo 2x em vez de x2);
4) x : x = 1 (um
número, diferente de zero, dividido por si mesmo é igual a 1 – muitos erram
escrevendo x em vez de 1);
5) Não podemos adicionar, nem subtrair, “quem tem
letra” com quem “não tem”. Por
exemplo: 2x + 1 NÃO É IGUAL a 3x.
Mas podemos multiplicar, por exemplo, 2x por 3: dá 6x, da mesma forma que dividindo, por exemplo, 8x por 2 dá 4x.
Mas podemos multiplicar, por exemplo, 2x por 3: dá 6x, da mesma forma que dividindo, por exemplo, 8x por 2 dá 4x.
TRADUÇÃO PARA
A LINGUAGEM ALGÉBRICA:
1) Um número → vamos representar uma quantidade desconhecida por
x;
2) Dois
números → x e y;
3) A soma
de dois números → x + y;
4) A
diferença entre dois números → x – y;
5) O dobro
de um número → 2 . x ou simplesmente 2x;
6) O triplo de um número → 3x;
7) O dobro de
um número somado com o seu triplo → 2x + 3x;
8) O dobro
de um número somado com o triplo de outro → 2x + 3y;
9) O
quadrado de um número → x2;
10) O
quadrado de um número subtraído do dobro de outro → x2 – 2y;
11) A soma
dos quadrados de dois números → x2 + y2;
12) O
quadrado da soma de dois números → (x + y)2;
13) O
produto da soma de dois números pela diferença deles →
(x + y)(x – y);
(x + y)(x – y);
14) O
oposto de um número → – x;
15) O
inverso de um número → 1/x;
16) O
produto entre três números → x . y . z;
17) O
quociente (a razão) entre dois números → x/y;
18) O cubo
de um número → x3;
19) Dois
números consecutivos → x e x + 1;
20) Um
número inteiro par → 2x, sendo x um inteiro;
21) Um
número inteiro ímpar → 2x + 1, sendo x um inteiro;
22) Um
inteiro múltiplo de 5 → 5x, sendo x um inteiro.
Há muitas outras possibilidades de “tradução”, que
serão analisadas conforme surgirem.
Vejamos os exercícios a partir de agora.
01. (Escola de Sargentos das Armas – ESA) A soma de dois números naturais
consecutivos é 11. O produto entre eles é:
Solução: Números naturais consecutivos (ou sucessivos) são números que vêm um logo após o outro na sequência dos números naturais, por exemplo: 12 e 13; 192, 193 e 194, etc...
Nós não sabemos quais são os
números: podemos representá-los por x e
x + 1, pois o 2º número é uma unidade maior que o 1º.
Como a soma deles é 11, podemos
escrever: x + x + 1 = 11 →
2x + 1 = 11 → 2x = 11 – 1 → 2x = 10 → x = 10/2 → x = 5.
Portanto, o outro número será o consecutivo de 5, ou seja, 5 + 1 = 6.
2x + 1 = 11 → 2x = 11 – 1 → 2x = 10 → x = 10/2 → x = 5.
Portanto, o outro número será o consecutivo de 5, ou seja, 5 + 1 = 6.
Notemos que o enunciado pediu o
produto entre eles, ou seja,
5 . 6 = 30.
5 . 6 = 30.
GABARITO: 30
02. A soma de três números inteiros consecutivos é 51. O maior desses
números é:
Solução: Como no anterior, os números são: x, x + 1 e x + 2 (eles aumentam de 1 em 1). Como a soma deles é 51, vem:
x + x + 1 + x + 2 = 51 → 3x + 3 = 51 → 3x = 51 – 3 → 3x = 48 →
x = 48/3 → x = 16.
Os demais números são 17 e 18, sendo
este o maior dos números.
GABARITO: 18
03.
A soma de quatro
números ímpares consecutivos é 72. O menor
desses números é:
Solução: Os números ímpares se sucedem DE DOIS EM
DOIS, por exemplo: 5, 7 e 9; 11, 13, 15
e 17, etc...
Logo, indicando o menor dos números
por x, os demais são x + 2, x + 4 e x + 6.
Como a soma deles é 72, podemos montar a seguinte equação:
Como a soma deles é 72, podemos montar a seguinte equação:
x + x + 2 + x + 4 + x + 6 = 72 → 4x + 12 = 72 →
4x = 72 – 12 →
4x = 60 → x = 15, que é justamente o menor dos números.
4x = 60 → x = 15, que é justamente o menor dos números.
GABARITO: 15
04. (ESA) Dois amigos têm juntos 80 selos. O mais velho possui o triplo do
mais novo. O mais velho possui:
Solução: Se o mais velho possui o triplo do mais novo, podemos representar a quantidade de selos do mais novo por x e do mais velho, 3x.
Como os dois juntos possuem 80 selos, podemos escrever a seguinte equação: x + 3x = 80 → 4x = 80 → x = 20 e o mais velho, 3 . 20 = 60 selos.
GABARITO: 60
05. (Escola de Especialistas da Aeronáutica – EEAR) São dados dois números,
tais que o maior é o triplo do menor. Multiplicando-se o maior por 3 e o menor
por 4, a
soma dos produtos fica igual a 39.
A diferença entre os dois números é:
Solução: Se o maior é o triplo do menor, podemos
representar os números por x e 3x.
1º)
Multiplicando o maior por 3 →
3 . 3x = 9x
2º)
Multiplicando o menor por 4 →
4 . x
3º)
Soma dos produtos igual a 39 →
9x + 4x = 39 →
13x = 39 →
x = 3, logo, o maior é 3 . 3 = 9 e a diferença entre eles, 9 – 3 = 6.
x = 3, logo, o maior é 3 . 3 = 9 e a diferença entre eles, 9 – 3 = 6.
GABARITO: 6
06. Uma fita de vídeo foi programada para gravar 6 horas. Quanto tempo já se gravou se o que resta para
terminar a fita é o dobro do que já passou?
Solução: Sendo x o número de horas já gravadas, 2x será o número de horas que restam para terminar a fita, já que este número é o dobro do que já se gravou.
Adicionando o que já foi gravado com o que ainda resta, teremos as 6 horas da fita: x + 2x = 6 → 3x = 6 → x = 2 horas.
GABARITO: 2 h
07. (Colégio Militar do Rio de Janeiro – CMRJ) Quando minhas 2 primas gêmeas nasceram, eu
tinha 7 anos. Hoje, se somarmos as
nossas idades, teremos juntos 76 anos. A
diferença entre a minha idade daqui a 3 anos e a idade das minhas primas há 3
anos é:
Solução: Se quando minhas primas nasceram eu tinha 7 anos, então isto significa que tenho 7 anos a mais que elas.
Sendo x as idades atuais das gêmeas,
x + 7 será a minha idade atual. O
enunciado permite escrever que x + x + x + 7 = 76 (lembre-se que são duas primas gêmeas) →
3x = 76 – 7 →
3x = 69 →
x = 23.
Portanto, minha idade atual é: 23
+ 7 = 30 anos e daqui a 3 anos, 30 + 3 = 33.
A idade das minhas primas há 3 anos é 23 – 3 = 20.
A diferença pedida é, portanto, 33 – 20 = 13 anos (note o jogo de palavras da pergunta, envolvendo idades no futuro e no passado).
A diferença pedida é, portanto, 33 – 20 = 13 anos (note o jogo de palavras da pergunta, envolvendo idades no futuro e no passado).
GABARITO: 13
08. (Fuzileiros Navais) No
estacionamento de um “Shopping” há apenas carros e motos, totalizando 110
veículos. O total de carros é igual a 9
vezes ao de motos. A quantidade de motos
estacionada é:
Solução: Sendo c o número de carros e m, o de motos, podemos escrever que c + m = 110 além de c = 9m.
Substituindo na primeira equação,
temos: 9m + m = 110 →
10m = 110 →
m = 11
GABARITO: 11
09. (Fuzileiros Navais) Helga e
Isabele têm juntas R$ 350,00. Helga possui R$ 80,00 a mais do que o dobro
da quantia de Isabele. O valor que cada
uma possui, respectivamente, é:
Solução: Representemos as quantias de Helga e Isabele, respectivamente, por h e i.
A primeira frase do enunciado nos
permite escrever que h + i = 350.
Como Helga possui R$ 80,00 a mais do que o dobro
da quantia de Isabele, vem: h = 80 + 2.i;
Substituindo na primeira equação,
temos: 80 + 2i + i = 350 →
3i = 350 – 80 →
3i = 270 →
i = 90 reais, portanto,
h = 350 – 90 = 260 reais.
h = 350 – 90 = 260 reais.
GABARITO: Helga, 260 reais e Isabele, 90 reais
10. (Polícia Militar do Estado do Rio de Janeiro – PMERJ) João e Pedro têm que despachar 240 processos
ao todo, sendo que João deverá despachar 60 processos a mais que Pedro. Neste caso, caberá a Pedro o seguinte número
de processos:
Solução: Podemos representar os
processos de João por J e os de Pedro por P.
O enunciado nos diz que J + P = 240 e J = 60 + P.
Substituindo, na primeira equação, J por 60 + P (pois são rigorosamente iguais), vem: 60 + P + P = 240 → 2P = 240 – 60 →
2P = 180 → P = 90.
Substituindo, na primeira equação, J por 60 + P (pois são rigorosamente iguais), vem: 60 + P + P = 240 → 2P = 240 – 60 →
2P = 180 → P = 90.
GABARITO: 90
11. (EEAR) A soma de dois números é
93, o quociente do maior pelo menor é 9 e o resto dessa divisão é 3. A soma dos algarismos do maior número vale:
Solução: Representemos o maior por x e o menor, por y. Como a soma deles é 93, podemos escrever que x + y = 93
Se o quociente (resultado de uma
divisão) é 9 e o resto 3, podemos, utilizando a propriedade fundamental da
divisão (prova real → dividendo = divisor x quociente +
resto) escrever: x = 9y + 3;
Substituindo o valor de x em função
de y acima na primeira equação, temos:
9y + 3 + y = 93 →
10y = 93 – 3 →
10y = 90 → y = 9;
Como a soma deles é 93 e um deles é o
9, o outro será 93 – 9 = 84, cuja soma dos algarismos é 8 + 4 = 12.
12.
(CMRJ) Numa divisão inexata o quociente é 15 e o
resto 2. Adicionando-se 15 ao dividendo
e mantendo-se o mesmo divisor, o novo quociente será 20 e o resto
continuará sendo 2. Nesta divisão a soma
do dividendo inicial e do divisor é:
Solução: Sendo D o dividendo original e d, o divisor, podemos escrever:
Solução: Sendo D o dividendo original e d, o divisor, podemos escrever:
1º)
D = d x 15 + 2
2º)
D + 15 = d x 20 + 2 →
substituindo o valor de D da primeira equação na segunda, ficamos com: d x 15 + 2 + 15 = d x 20 + 2 →
15 = 20d – 15d → 15 = 5d → d = 3
15 = 20d – 15d → 15 = 5d → d = 3
3º)
Logo, D = 3 x 15 + 2 →
D = 47, e a soma do dividendo e do divisor originais é 47 + 3 = 50.
GABARITO: 50
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