Diário do Leal Concursos - 06/10/2017 - 45 questões resolvidas sobre o Princípio Fundamental da Contagem

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01)  Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares?

Solução: 1º) 4 possibilidades;
2º) 3 possibilidades;

3º) 2 possibilidades;

Pelo Princípio Fundamental da Contagem: 1º e o 2º e o 3º = 4 x 3 x 2 = 24 possibilidades

02)  De quantos modos três pessoas podem ficar em fila indiana?

Solução: 1º) 3 possibilidades;

2º) 2 possibilidades;

3º) 1 possibilidade;

1º e o 2º e o 3º = 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades

03)  Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 (5 alg. ao todo)?

1º) Escolher o algarismo das centenas: 5 possibilidades;

2º) Escolher o alg. das dezenas: 4 possibilidades;

3º) Escolher o alg. das unidades: 3 possibilidades;

1º e o 2º e o 3º = 5 x 4 x 3 = 60

04)  Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só tipo de carne e uma só sobremesa.  O cardápio oferece 8 pratos distintos de carne e 5 de sobremesa.  De quantas formas pode este homem fazer sua refeição?

1º) escolher a carne → 8 possibilidades;

2º) escolher a sobremesa → 5 possibilidades;

1º e o 2º) 8 x 5 = 40 possibilidades.

05) Uma moça possui 5 blusas e 6 saias.  De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia?

1º) escolher a blusa → 5 possibilidades;
2º) escolher a saia → 6 possibilidades;
Escolher a blusa e a saia → 5 x 6 = 30 possibilidades.

06)  O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

1º) primeira letra: 26 possibilidades;

2º) segunda letra: 26 possibilidades;

3º) terceira letra: 26 possibilidades;

4º) primeiro algarismo: 10 possibilidades;

5º) segundo alg.: 10 possibilidades;

6º) terceiro alg.: 10 possibilidades;

7º) quarto alg.: 10 possibilidades;

Logo:  26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000 

07)  Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (6 ao todo), quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?

1º)  Escolher o algarismo das centenas: 6 possibilidades;

2º)  Escolher o algarismo das dezenas: 5 possibilidades;

3º)  Escolher o algarismo das unidades: 4 possibilidades;

Escolher o 1º e 2º e 3º → 6 x 5 x 4 = 120 possibilidades.

08)  Um edifício tem 8 (oito) portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair dele por uma porta diferente da que usou para entrar? 

1º) entrar →  8 possibilidades;

2º) sair → 7 possibilidades;

Entrar e sair → 8 x 7 = 56 possibilidades.

09) De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são:  sim ou não?

1º) 2 possibilidades;

2º) 2 possibilidades;

3º) 2 possibilidades;

4º), 5º), 6º), ..., 12º) 2 possibilidades;

Logo:  2 x 2 x 2 x ... x 2 = 2¹² = 4096 possibilidades.

10) (Fundação Cesgranrio) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 32 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1° lugar, Brasil; 2° lugar, Nigéria; 3° lugar, Holanda).  Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

1º país: 32 possibilidades;
2º país: 31 possibilidades;
3º país: 30 possibilidades;
1º e 2º e 3º países: 32 x 31 x 30 = 29.760 possibilidades

11) (UFMG) Duas das cinquenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras, para ocupá-las, é:

a) 1225 b) 2450 c) 2⁵⁰ d) 49. e) 50.

1º aluno: 50 possibilidades ;
2º aluno: 49 possibilidades ;
1º e o 2º: 50 x 49 = 2450 possibilidades

12) (ESA/2013)  Uma corrida é disputada por 8 atletas. O número de resultados possíveis para os 4 primeiros lugares é
A) 336. B) 512. C) 1530. D) 1680. E) 4096.
Como nos anteriores: 8 x 7 x 6 x 5 = 1680

13) (ESA – Música/2013)  Em um guarda-roupa há quatro camisas, cinco calças e três pares de sapatos, então identifique a alternativa que apresenta a quantidade de formas diferentes que se pode utilizá-los. 

A) infinitos B) 453 C) 1 D) 12 E) 60

Como nos anteriores: 4 x 5 x 3 = 60

14) O sistema telefônico de São Paulo utiliza nove dígitos para designar os diversos telefones. Supondo que o primeiro dígito seja sempre nove (9), e que o dígito zero (0) não seja utilizado para designar estações (2º e 3º dígitos), quantos números de telefones diferentes poderemos ter?

1º) 1 possibilidade → precisa ser o 9;

2º) 9 possibilidades → não pode o 0;

3º) 9 possibilidades → não pode o 0;

4º) 10 possibilidades → não há restrições;

5º), 6º), ..., 9º) 10 possibilidades → não há restrições;

Logo:  1 x 9 x 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 81.000.000 telefones.

15) Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 (8 ao todo)?

1º) Algarismo das unidades → 4 possibilidades (1, 3, 5 ou 7);
2º) Algarismo das centenas →  6 possibilidades → não pode o zero nem o algarismo utilizado nas unidades;

3º) Alg. das dezenas → 6 possibilidades (não podem os algarismos utilizados anteriormente);

Logo: 4 x 6 x 6 = 144 possibilidades

16)  Determinar quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas pertencem a {1,2,3,4} e os demais algarismos a {0,5,6,7,8,9}.

1º) Algarismo das centenas → 4 possibilidades;

2º) Alg. das dezenas → 6 possibilidades;

3º) Alg. das unidades → 2 possibilidades → 0 ou 5;

Logo:  4 x 6 x 2 = 48 possibilidades

17) (UFCE) Atualmente, as placas dos veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando estas informações, calcule o número de placas distintas que podem ser fabricadas, iniciadas pelas letras HUI, nesta ordem, e cujo último algarismo seja ímpar.

Como as letras já foram pré-determinadas, não há escolha a fazer.
1º algarismo: 10 possibilidades;

2º alg.: 10 possibilidades;

3º alg.: 10 possibilidades;

4º alg.: 5 possibilidades (1, 3, 5, 7 ou 9)

Logo:  10 x 10 x 10 x 5 = 5000 possibilidades.

18) (UFBA) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, (6 ao todo) podem-se formar x números ímpares, com três algarismos distintos cada um. Determine x.

1º) Alg. das unidades → 2 possibilidades (1 ou 3);

2º) Alg. das centenas → 5 possibilidades;

3º) Alg. das dezenas → 4 possibilidades;
Logo:  2 x 5 x 4 = 40 possibilidades

19) (UNITAU) Na área de Ciências Humanas, existem treze opções no Vestibular da UNITAU. Um candidato tem certeza quanto à 1ª opção mas, quanto à segunda, está em dúvida, por isso resolve escolher aleatoriamente qualquer uma nesta área. De quantas maneiras ele poderá preencher sua ficha de inscrição, sendo a 2ª necessariamente diferente da 1ª?

1ª) 1 possibilidade;
2ª) 12 possibilidades;

Logo:  1 x 12 = 12 possibilidades.

20) Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres.  Quantos casais diferentes podem ser formados?

1) Escolher o homem: 80 possibilidades;
2) Escolher a mulher: 90 possibilidades;

Logo: o homem E mulher: 80 x 90 = 7200 casais

21) Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos?

1) Escolher o terno: 10 possibilidades;

2) Escolher a camisa: 12 possibilidades;

3) Escolher o par de sapatos: 5 possibilidades;

Logo: 10 x 12 x 5 = 600 possibilidades.

22) Uma prova consta de 20 testes tipo Verdadeiro ou Falso.  De quantas formas uma pessoa poderá responder os 20 testes?

1) Responder a primeira pergunta: 2 possibilidades;

2) Responder a segunda pergunta: 2 possibilidades;

...

20) Responder a vigésima pergunta: 2 possibilidades;

Logo: 2 x 2 x 2 x ... x 2 = 2²⁰=1.048.546 possibilidades.

23) Quantos anagramas podemos formar, batendo ao acaso em 6 teclas, escolhidas entre as 26 existentes, num teclado de computador? 

1) Primeira letra: 26 possibilidades;

2) Segunda letra: 26 possibilidades;

...

6) Sexta letra: 26 possibilidades;

Logo: 26 x 26 x 26 x 26 x 26 x 26 = 26⁶.

24) Num concurso para preenchimento de uma cátedra, apresentam-se 3 candidatos.  A comissão julgadora é constituída de 5 membros, devendo cada examinador escolher exatamente um candidato.  De quantos modos os votos desses examinadores podem ser dados?

1) Primeiro examinador: 3 possibilidades;

2) Segundo examinador: 3 possibilidades;

...

5) Quinto examinador: 3 possibilidades;

Logo: 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3⁵ = 243 possibilidades.

25) Quantos números, de três algarismos, iguais ou distintos, podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 7 e 8?

Como nos anteriores: 5 x 5 x 5 = 125.

26) Temos um conjunto de 10 nomes e outro de 20 sobrenomes. Quantas pessoas podem receber um nome e um sobrenome, com esses elementos?

Como nos anteriores: 10 x 20 = 200

27) Cinco moedas são lançadas.  Quantas sequências possíveis de caras e coroas existem? 

Como nos anteriores: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

28) Seis dados são lançados simultaneamente.  Quantas sequências de resultados são possíveis, se considerarmos cada elemento da sequência como o número obtido em cada dado?

Como nos anteriores: 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁶

29) Considere os anagramas da palavra BRASIL:

a)   Quantos existem?

Ex.: Anagramas de AMOR → ROMA, MORA, RAMO, ORAM, OMAR, MRAO, ...

BRASIL → 6 letras → 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! (fatorial de 6 ou 6 fatorial) = 720.
Por definição:  0! = 1 e 1! = 1

b)   Quantos começam por B?
1 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120

c)   Quantos começam por vogal?
2 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 240

30) Com relação a palavra TEORIA:
a) Quantos anagramas existem?
b) Quantos anagramas começam por T?
c) Quantos anagramas começam por T e terminam com A?

d) Quantos anagramas começam por vogal?

e) Quantos anagramas têm as vogais juntas?

a) 6! = 720;
b) 1 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1  = 120;

c) 1 x 4 x 3 x 2 x 1 x 1 = 24;

d) 4 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 480;

e) Teoria → 2 consoantes e 1 vogal → a princípio, 3 x 2 x 1 = 6 anagramas;
No bloco de vogais → 4 x 3 x 2 x 1 = 24 possibilidades;
Total:  6 x 24 = 144 anagramas.

31) Quantos anagramas da palavra FILTRO começam por consoante?

4 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 480

32) Quantos palavras distintas podemos formar com a palavra PERNAMBUCO? Quantas começam com a sílaba PER?

a) 10!
b) 1 x 1 x 1 x 7! = 5040

33) Em um horário especial, um diretor de televisão dispõe de 7 intervalos para os anúncios comerciais. Se existirem 7 diferentes tipos de anúncios, de quantas formas o diretor poderá colocar os 7 nos intervalos destinados a eles?

Resp.: 7! = 5040

34) De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila se:
a) os homens devem ficar juntos?
b) os homens devem ficar juntos e as mulheres também?

a) 6 pessoas → 5 mulheres e 1 “homem”
1º) Permutação dessas 6 pessoas → 6! = 720;
2º) Permutação dos 4 homens entre si → 4! = 24;

Total:  720 x 24 = 17280

b) 2 pessoas → 1 “mulher” e 1 “homem”
1º) Permutação dessas 2 pessoas → 2! = 2;

2º) Permutação das 5 mulheres → 5! = 120;

3º) Permutação dos 4 homens → 4! = 24;

Total:  2 x 120 x 24 = 5760

35) Temos 5 meninos e 5 meninas. De quantas formas eles podem ficar em fila se meninos e meninas ficam em posições alternadas?

1º) Um menino inicia a fila → 5 x 5 x 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 120 x 120 = 14400;
2º) Uma menina inicia a fila → 14400;

Total:  28800

36) (EEAR – CFS B/2013)  Para elaborar uma prova de Inglês, um professor utilizará 6 questões de vocabulário e 4 de gramática. O número de maneiras que ele pode ordenar aleatoriamente essas questões é dado por ______ .
a) (6 + 4)! b) (6 – 4)! c) 6! . 4! d) 6!/4!

Total:  10 questões → 10! provas distintas → letra a)

37) (EEAR – CFS B/2015)  A metade do número de anagramas da palavra PRISMA que começam por S é
a) 10. b) 20. c) 30. d) 60.

Total de anagramas → 1 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120;
Metade → 60

38) (EEAR – CFS A/2011)  O número de anagramas da palavra SOLEIRA que começam com vogal é
a) 2720. b) 2780. c) 2860. d) 2880.

4 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 2880 

39) (ESA/2009)  Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sem repeti-los, podemos escrever “x” números de 4 algarismos, maiores que  3 200. O valor de “x” é:

1º) Começando por 6 → 1 x 5 x 4 x 3 = 60;

2º) Começando por 5 → 1 x 5 x 4 x 3 = 60;

3º) Começando por 4 → 1 x 5 x 4 x 3 = 60;

4º) Começando por 3 → 1 x 4 x 4 x 3 = 48;

Total:  228

40) (UFRJ) Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?

Números que servem: 3125, 9228, 2262, 2222 etc.
Números que não servem: 5746, 1059, 3337, 8450 etc. → o 2 não aparece

Método Indireto:

1ª) Total de números sem restrição:  9 x 10 x 10 x 10 = 9000 números;
2ª) Total de números que não servem: 8 x 9 x 9 x 9  = 5832 números;
3ª) Total de números que servem: 9000 – 5832 = 3168 números.

41) (FGV) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico de um banco mas, na hora de digitar a senha, esquece-se do número. Ela lembra que o número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O número máximo de tentativas para acertar a senha é:

Método Indireto:

1º) Total de senhas sem levar em conta a presença ou não do 7: 

1 x 9 x 8 x 7 x 6 = 3024;

2º) Total de senhas sem o 7: 1 x 8 x 7 x 6 x 5 = 1680;

3º) Total de senhas que servem:  3024 – 1680 = 1344.

42) Duas pessoas, Maria e Ketlem, praticam um jogo, no qual em cada partida, há uma única vencedora. O jogo é praticado até que uma delas ganhe 2 partidas consecutivas ou 4 partidas tenham sido jogadas, o que ocorrer primeiro. Quantas e quais as sequências possíveis de ganhadoras?

Resp.: (M, M); (M,K,K); (M,K,M,M); (M,K,M,K); (K,K); (K,M,M); (K,M,K,K); (K,M,K,M) – 8 possibilidades.

43) Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?

Método Indireto:

1º) Total sem restrições: 10 x 9 = 90 possibilidades;

2º) Não pode acontecer → cadeiras consecutivas:
(1,2); (2,3); (3,4); (4,5); (5,6); (6,7); (7,8); (8,9); (9, 10) → 9 possibilidades
ou
(2,1); (3,2); (4,3); ...; (10,9) → 9 possibilidades

3º) Servem → 90 – 9 – 9 = 72 possibilidades.

44) Quantos números naturais pares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 0 a 9?

1º caso:  o zero aparece nas unidades:

1) Algarismo das unidades – 1 possibilidade: zero;
2) Algarismo das centenas – 9 possibilidades: não pode o zero;

3) Algarismo das dezenas – 8 possibilidades;

Logo: 1 x 9 x 8 = 72 números.

2º caso: o zero não aparece nas unidades:

1) Algarismo das unidades – 4 possibilidades: 2, 4, 6 ou 8;
2) Algarismo das centenas – 8 possibilidades: não podem nem o zero nem o alg. das unidades;

3) Algarismo das dezenas – 8 possibilidades;

Logo: 4 x 8 x 8 = 256 números.

Total: 72 + 256 = 328 números.

45) (EEAR – CFS A/2011)  Formato, tamanho e cor são as características que diferem as etiquetas indicadoras de preço dos produtos de uma loja. Se elas podem ter 2 formatos, 3 tamanhos e 5 cores, o número máximo de preços distintos dos produtos da loja é:
a) 24. b) 30. c) 32. d) 40.

1º) determinar o formato → 2 possibilidades;

2º) determinar o tamanho → 3 possibilidades;

3º) determinar a cor → 5 possibilidades;

1º e o 2º e o 3º → 2 x 3 x 5 = 30 possibilidades.