Trecho do livro "Bruno Leal - Matemática Possível - Volume 1"

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Assuntos abordados: 1) Problemas com as quatro operações fundamentais; 

2) Divisibilidade / Múltiplos e Divisores / Números Primos; 

3) MMC e MDC; 4) Números Fracionários, decimais e dízimas periódicas; 

5) Sistema Métrico Decimal; 6) Razões e Proporções; 7) Regras de Três; 

8) Porcentagem; 9) Juros Simples; 10) Problemas do Primeiro Grau 

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Capítulo 10
O Primeiro Grau
Prof. Bruno Leal

            Nessa aula, vamos estudar alguns problemas clássicos que são resolvidos através de equações ou sistemas de equações do primeiro grau.  Acompanhe com bastante atenção cada etapa das resoluções.

Vamos, antes de analisar os exercícios, lembrar alguns cálculos corriqueiros envolvendo termos literais que acabam confundindo muitos alunos.  “x” representa um número real qualquer.

1) x + x = 2x (um número adicionado a si mesmo é igual ao seu dobro);

2) x – x = 0 (um número subtraído de si mesmo é igual a zero);

3) x . x = x² (um número multiplicado por si mesmo é igual ao seu quadrado – muitos erram escrevendo 2x em vez de x²);

4) x : x = 1 (um número, diferente de zero, dividido por si mesmo é igual a 1 – muitos erram escrevendo x em vez de 1);

5) Não podemos adicionar, nem subtrair, “quem tem letra” com quem “não tem”.  Por exemplo:  2x + 1 NÃO É IGUAL a 3x.
Mas podemos multiplicar, por exemplo, 2x por 3:  dá 6x, da mesma forma que dividindo, por exemplo, 8x por 2 dá 4x. 

TRADUÇÃO PARA A LINGUAGEM ALGÉBRICA:

1) Um número → vamos representar uma quantidade desconhecida por x;

2)  Dois números → x e y;

3)  A soma de dois números → x + y;

4)  A diferença entre dois números → x – y;

5)  O dobro de um número → 2 . x ou simplesmente 2x;

6) O triplo de um número → 3x;

7)  O dobro de um número somado com o seu triplo → 2x + 3x;

8)  O dobro de um número somado com o triplo de outro → 2x + 3y;

9)  O quadrado de um número → x²;

10)  O quadrado de um número subtraído do dobro de outro → x² – 2y;

11)  A soma dos quadrados de dois números → x² + y²;

12)  O quadrado da soma de dois números → (x + y)²;

13)  O produto da soma de dois números pela diferença deles →
(x + y)(x – y);

14)  O oposto de um número →  – x;

15)  O inverso de um número →  1/x;

16)  O produto entre três números → x . y . z;

17)  O quociente (a razão) entre dois números → x/y;

18)  O cubo de um número → x³;

19)  Dois números consecutivos → x e x + 1;

20)  Um número inteiro par → 2x, sendo x um inteiro;

21)  Um número inteiro ímpar → 2x + 1, sendo x um inteiro;

22)  Um inteiro múltiplo de 5 → 5x, sendo x um inteiro.

Há muitas outras possibilidades de “tradução”, que serão analisadas conforme surgirem.  Vejamos os exercícios a partir de agora.

01.       (Escola de Sargentos das Armas – ESA) A soma de dois números naturais consecutivos é 11. O produto entre eles é:

Solução:  Números naturais consecutivos (ou sucessivos) são números que vêm um logo após o outro na sequência dos números naturais, por exemplo:  12 e 13; 192, 193 e 194, etc...

Nós não sabemos quais são os números:  podemos representá-los por x e x + 1, pois o 2º número é uma unidade maior que o 1º.

Como a soma deles é 11, podemos escrever:  x + x + 1 = 11  → 
2x + 1 = 11 → 2x = 11 – 1  →  2x = 10  →  x = 10/2 →  x = 5. 

Portanto, o outro número será o consecutivo de 5, ou seja, 5 + 1 = 6.

Notemos que o enunciado pediu o produto entre eles, ou seja,
5 . 6 = 30.

GABARITO:  30

02.       A soma de três números inteiros consecutivos é 51. O maior desses números é:

Solução:  Como no anterior, os números são:  x, x + 1 e x + 2 (eles aumentam de 1 em 1).  Como a soma deles é 51, vem:
x + x + 1 + x + 2 = 51  →  3x + 3 = 51  →  3x = 51 – 3  →  3x = 48  → 
x = 48/3  →  x = 16.

Os demais números são 17 e 18, sendo este o maior dos números.

GABARITO:  18

03.       A soma de quatro números ímpares consecutivos é 72.  O menor desses números é:

Solução:  Os números ímpares se sucedem DE DOIS EM DOIS, por exemplo:  5, 7 e 9; 11, 13, 15 e 17, etc...

Logo, indicando o menor dos números por x, os demais são x + 2, x + 4 e x + 6. 

Como a soma deles é 72, podemos montar a seguinte equação:

x + x + 2 +  x + 4 + x + 6 = 72  →  4x + 12 = 72  →  4x = 72 – 12  → 
4x = 60 →  x = 15, que é justamente o menor dos números.

GABARITO:  15

04.       (ESA) Dois amigos têm juntos 80 selos. O mais velho possui o triplo do mais novo. O mais velho possui:

Solução:  Se o mais velho possui o triplo do mais novo, podemos representar a quantidade de selos do mais novo por x e do mais velho, 3x. 

Como os dois juntos possuem 80 selos, podemos escrever a seguinte equação:  x + 3x = 80  →  4x = 80  →  x = 20 e o mais velho, 3 . 20 = 60 selos.

GABARITO:  60

05.       (Escola de Especialistas da Aeronáutica – EEAR) São dados dois números, tais que o maior é o triplo do menor. Multiplicando-se o maior por 3 e o menor por 4, a soma dos produtos fica igual a 39. A diferença entre os dois números é:

Solução:  Se o maior é o triplo do menor, podemos representar os números por x e 3x. 

1º)  Multiplicando o maior por 3  →  3 . 3x = 9x

2º)  Multiplicando o menor por 4  →  4 . x

3º)  Soma dos produtos igual a 39  →  9x + 4x = 39  →  13x = 39  → 
x = 3, logo, o maior é 3 . 3 = 9 e a diferença entre eles, 9 – 3 = 6.

GABARITO:  6

06.       Uma fita de vídeo foi programada para gravar 6 horas.  Quanto tempo já se gravou se o que resta para terminar a fita é o dobro do que já passou?

Solução:  Sendo x o número de horas já gravadas, 2x será o número de horas que restam para terminar a fita, já que este número é o dobro do que já se gravou. 

Adicionando o que já foi gravado com o que ainda resta, teremos as 6 horas da fita:  x + 2x = 6  →  3x = 6  →  x = 2 horas.

GABARITO:  2 h

07.       (Colégio Militar do Rio de Janeiro – CMRJ)  Quando minhas 2 primas gêmeas nasceram, eu tinha 7 anos.  Hoje, se somarmos as nossas idades, teremos juntos 76 anos.  A diferença entre a minha idade daqui a 3 anos e a idade das minhas primas há 3 anos é:

Solução:  Se quando minhas primas nasceram eu tinha 7 anos, então isto significa que tenho 7 anos a mais que elas. 

Sendo x as idades atuais das gêmeas, x + 7 será a minha idade atual.  O enunciado permite escrever que x + x + x + 7 = 76  (lembre-se que são duas primas gêmeas)  →  3x = 76 – 7  →  3x = 69  →  x = 23.

Portanto, minha idade atual  é:  23 + 7 = 30 anos e daqui a 3 anos, 30 + 3 = 33.  A idade das minhas primas há 3 anos é 23 – 3 = 20. 

A diferença pedida é, portanto, 33 – 20 = 13 anos  (note o jogo de palavras da pergunta, envolvendo idades no futuro e no passado).

GABARITO:  13

08.       (Fuzileiros Navais)  No estacionamento de um “Shopping” há apenas carros e motos, totalizando 110 veículos.  O total de carros é igual a 9 vezes ao de motos.  A quantidade de motos estacionada é:

Solução:  Sendo c o número de carros e m, o de motos, podemos escrever que c + m = 110 além de c = 9m.

Substituindo na primeira equação, temos:  9m + m = 110  →  10m = 110  →  m = 11

GABARITO:  11

09.       (Fuzileiros Navais)  Helga e Isabele têm juntas R$ 350,00. Helga possui R$ 80,00 a mais do que o dobro da quantia de Isabele.  O valor que cada uma possui, respectivamente, é:

Solução:  Representemos as quantias de Helga e Isabele, respectivamente, por h e i.

A primeira frase do enunciado nos permite escrever que h + i = 350.

Como Helga possui R$ 80,00 a mais do que o dobro da quantia de Isabele, vem:  h = 80 + 2.i;

Substituindo na primeira equação, temos:  80 + 2i + i = 350  →  3i = 350 – 80  →  3i = 270  →  i = 90 reais, portanto,
h = 350 – 90 = 260 reais.

GABARITO:  Helga, 260 reais e Isabele, 90 reais

10.       (Polícia Militar do Estado do Rio de Janeiro – PMERJ)  João e Pedro têm que despachar 240 processos ao todo, sendo que João deverá despachar 60 processos a mais que Pedro.  Neste caso, caberá a Pedro o seguinte número de processos:

Solução: Podemos representar os processos de João por J e os de Pedro por P.   O enunciado nos diz que J + P = 240 e J = 60 + P. 

Substituindo, na primeira equação, J por 60 + P (pois são rigorosamente iguais), vem:  60 + P + P = 240  →  2P = 240 – 60  → 
2P = 180  →  P = 90.

GABARITO:  90

11.       (EEAR)  A soma de dois números é 93, o quociente do maior pelo menor é 9 e o resto dessa divisão é 3.  A soma dos algarismos do maior número vale:

Solução: Representemos o maior por x e o menor, por y.  Como a soma deles é 93, podemos escrever que x + y = 93

Se o quociente (resultado de uma divisão) é 9 e o resto 3, podemos, utilizando a propriedade fundamental da divisão (prova real → dividendo = divisor x quociente + resto) escrever:  x = 9y + 3;

Substituindo o valor de x em função de y acima na primeira equação, temos:  9y + 3 + y = 93  →  10y = 93 – 3  →  10y = 90 →  y = 9;

Como a soma deles é 93 e um deles é o 9, o outro será 93 – 9 = 84, cuja soma dos algarismos é 8 + 4 = 12.

12.       (CMRJ)  Numa divisão inexata o quociente é 15 e o resto 2.  Adicionando-se 15 ao dividendo e mantendo-se o mesmo divisor, o novo quociente será 20 e o resto continuará sendo 2.  Nesta divisão a soma do dividendo inicial e do divisor é:

Solução:  Sendo D o dividendo original e d, o divisor, podemos escrever:

1º)  D = d x 15 + 2

2º)  D + 15 = d x 20 + 2 →  substituindo o valor de D da primeira equação na segunda, ficamos com:  d x 15 + 2 + 15 = d x 20 + 2  → 
15 = 20d – 15d  →  15 = 5d  →  d = 3

3º)  Logo, D = 3 x 15 + 2  →  D = 47, e a soma do dividendo e do divisor originais é 47 + 3 = 50.

GABARITO:  50

Vídeo-Aula completa em 7 partes - Função Polinomial do Primeiro Grau - Parte 7 - Prof. Bruno Leal

Função Polinomial do Primeiro Grau - Prof. Bruno Leal

Essa aula foi gravada há alguns anos e, embora a qualidade de som e imagem não seja a ideal, é perfeitamente possível de ser assistida. 

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Vídeo-aula completa - "Área das Figuras Planas" - 31 questões resolvidas - Prof. Bruno Leal

Esta aula foi gravada há alguns anos e, embora a qualidade de áudio e vídeo não seja a ideal, é perfeitamente assistível.

Ao todo, 31 exercícios analisados com calma, passo a passo, para que todos, mesmo aqueles sem "base" possam entender.

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Diário do Leal Concursos - 16/12/17 - Concordância - Parte 2 - Mais de 60 frases analisadas!

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01.          (RM-2/2016) Em que opção a concordância verbal está correta, de acordo com a norma padrão?
a) Os aspirantes haverão de estar esperando o Comandante no paiol.
b) Não se houve (houveram) bem nos exercícios de ontem os candidatos do pelotão C.
c) Houveram (Houve) muitas festas comemorativas com a presença do Presidente.
d) Naquele navio à noite, hão (há) de haver (existir) excelentes oficiais de serviço.
e) Todos sabiam que havia (haviam) de existir nas eleições maus candidatos.

02.          (RM-2/2016) Assinale a opção em que a concordância verbal está correta, tendo em vista a norma padrão.

a)   Houve alguns problemas durante o curso.

b)   Era Eram dez horas quando decidiu ir embora.

c)   Fazem (Faz) três anos que terminei a faculdade.

d)   Existe (Existem) diferentes soluções para o problema.

e)   Precisam-se (Precisa-se) de novos trabalhadores no setor.

03.          (ESA/1975) A concordância do verbo "haver" está correta na frase:

(A)          Sempre haverão (haverá) problemas dessa natureza.

(B)          Hão (Há) de haver muitas novidades.

(C)          Eles já haviam chegado.

(D)          Houveram (Houve) muitas lutas.

04.          (ESA/1975) Apresenta erro de concordância verbal:
(A) Tudo são alegrias. (concordância com o predicativo)
(ou: Tudo é alegrias. – concordância com o sujeito)
(B) Escrevem-se livros muito bons.
(Livros muito bons são escritos)
(C) Os Estados Unidos são um grande país.
Ex.: Estados Unidos é parceiro do Brasil.
Minas Gerais é um estado brasileiro.
(D) Fazem (Faz) três anos que cheguei aqui.

05.          (ESA/1976) Assinale o período que não admite as duas possibilidades de concordância verbal apresentadas:
(A) Tudo é ou são alegrias.
(B) Saímos ou saí eu e meu irmão (= nós).
(sujeito composto após o verbo – existe a concordância atrativa – pode-se concordar com o núcleo mais próximo)
(C) Quais de vós saireis ou sairão?
(Quais de vós saireis? / Quais de vós sairão?
(D) Perto de dez alunos faltaram ou faltou.
(Mais de um aluno faltou.)

06.          (ESA/1982) Assinale a opção em que há erro de concordância verbal:
a) Não deveria haver tantas brigas entre os pombos.
b) Chegaram ontem cerca de vinte pessoas.
c) A maioria dos candidatos compareceu (ou compareceram) ao exame.
d) Não me interessa (interessam) os teus problemas.

07.          (ESA/1983) Marque a alternativa que apresenta erro de concordância:
a) Alguns esbarravam nos cavalos.
b) No meio da boiada haviam (havia) caldeiros.
c) Existiam cercas nas laterais.
d) (Ele) Viu a brabeza dos olhos.

08.          (ESA/1984) Poderíamos escrever também, obedecido às regras de concordância verbal:
(A) ainda existe (existem) milagres;
(B) ainda deve haverem milagres;
(C) ainda deve haver milagres;
(D) ainda devem haver (o haver no sentido de existir, sendo o verbo principal de uma locução verbal, contamina o auxiliar, que fica no singular) milagres.

Ex: Deve/Pode/Costuma/Há de haver sobreviventes do terremoto.

09.          (ESA/1983) No texto lemos "...fiquei entre a vida e a morte." (linha 4). A concordância verbal não estaria correta em:
A) Ela e  eu (= Nós) ficamos entre a vida e a morte.
B) Tu e eu (= Nós) ficamos entre a vida e a morte.
C) Tu e ela (= Vocês) ficamos (ficaram) entre a vida e a morte.
D) Eu e tu (= Nós) ficastes (ficamos) entre a vida e a morte.

10. Assinale a frase com erro de concordância verbal.

a)   Houve diversas alterações.

b)   Ainda existem dificuldades.

c)   Não haveriam, temos certeza, tantas decepções.
(Haver no sentido de existir não tem sujeito e fica no singular)

d)   Ainda haverá problemas.

11. Indique a opção que apresenta uma concordância verbal indevida.

a.   Poderá haver demissões.

b.   Não costuma haver reprovações.

c.   Deve existir ali pessoas sensatas.
(Devem existir – o verbo existir é “comum”, possui sujeito)

d.   Existe um erro e um acerto.
(sujeito composto após o verbo – admite-se a concordância atrativa;
Obs.: Existem um erro e um acerto – certo;
Um erro e um acerto existem – certo;
Um erro e um acerto existe – errado.)

12. Assinale o erro de concordância verbal.

a) Há de haver falhas.

b) Hão de existir melhores condições de trabalho.
c) Já faz dois dias que não durmo.

d) Espero que hajam novas oportunidades.

13. Assinale o erro de concordância verbal.

a) Perdeu-se todo o lote.
(se – partícula apassivadora = Todo o lote foi perdido – Sujeito: todo o lote)

b) Faz-se chaves. – Fazem-se chaves.
(se – partícula apassivadora = Chaves são feitas – Sujeito: chaves)

c) Acharam-se os documentos.
(se – partícula apassivadora = Os documentos foram achados – Sujeito: os documentos)

d) Necessita-se de ajudantes.
(Se – índice de indeterminação do sujeito – sujeito indeterminado;
verbo fica no singular;
de ajudantes – objeto indireto)

14. Assinale o erro de concordância verbal.

a) Compram-se jornais velhos.
(se – partícula apassivadora = Jornais velhos são comprados – Sujeito: jornais velhos)

b) Já não se lê revistas como antigamente.  - Já não se leem revistas como antigamente.
(se – partícula apassivadora = Revistas já não são lidas como antigamente – Sujeito: revistas)
c) Já não se lê como antigamente.
(Se – índice de indeterminação do sujeito – generalização – sujeito indeterminado – verbo no singular)
d) Escreviam-se belas cartas.

(se – partícula apassivadora = Belas cartas eram escritas – Sujeito: belas cartas)

15. Assinale a frase perfeita quanto à concordância verbal.

a) Que se coloque (coloquem) os cartazes agora mesmo.
(se – partícula apassivadora = Que os cartazes sejam colocados agora mesmo – Sujeito: os cartazes)

b) Pede-se (Pedem-se) explicações.
(se – partícula apassivadora = Explicações são pedidas – Sujeito: explicações)

c) Levantar-se-á (Levantar-se-ão) as paredes.
(se – partícula apassivadora = As paredes serão levantadas – Sujeito: as paredes)

d) Aqui se obedece às leis.
(Se – índice de indeterminação do sujeito – generalização – sujeito indeterminado – verbo no singular;
às leis – objeto indireto)

16. Assinale a frase que contraria a norma culta quanto à concordância verbal.

a) Sou eu que pergunto. (Sou eu que pergunta – errado)

b) Sou eu quem pergunta. (ou Sou eu quem pergunto.)

c) Fazem cinco anos os garotinhos.
(= Os garotinhos fazem cinco anos.)
d) Inúmeros problemas estão havendo (está havendo) aqui. = Está havendo (estão existindo) inúmeros problemas aqui.

17. Está errada a concordância verbal em:

a) O sino da matriz bateu cinco horas.
(O sino da matriz – sujeito)
b) Trabalharei eu, tu e ele.
(sujeito composto após o verbo aceita a concordância atrativa; ou Trabalharemos nós)

c) Voltastes tu e eu.
(tu e eu = nós – Voltamos nós ou Voltaste tu e eu;
Obs.: Voltastes tu e ele – certo)

d) No relógio da praça, já bateram dez horas.

(Dez horas – sujeito)

18. Assinale o erro de concordância verbal.

a) Trabalhava a menina e eu.
(ou trabalhavam a menina e eu)

b) Têm-se contado boas histórias.
(se – partícula apassivadora = Boas histórias têm sido contadas – Sujeito: boas histórias)

c) Eram eles quem discursaria.
(Ou: Eram eles quem discursariam)

d) Os Lusíadas, grande obra de Camões, pertence à literatura universal.

(Polêmico: há quem aceite só no singular, há quem aceite só no plural e há quem aceite as duas formas)
Sem gabarito definitivo...

19. Assinale a frase que não está de acordo com a língua padrão.
a) Quais de vós sereis promovidos?
(ou Quais de vós serão promovidos?)
b) Qual dentre nós será aproveitado?
c) Cada um deles disse isso.
d) Algum deles, apesar das dificuldades encontradas e de todos os problemas não resolvidos, vieram (veio) cedo.

20. Assinale a frase cujo verbo poderia estar também no plural.

a) Jamais haverá discussões.

b) O povo aplaudia.

c) Luta-se por dias melhores.

d) Um e outro artista gostaria (ou gostariam) de assinar tal trabalho.

(Quando o sujeito for constituído pelas expressões: um e outro, nem um nem outro... - o verbo poderá ficar no singular ou no plural.
Ex.: Um e outro já veio. / Um e outro já vieram.)

21. Só está correta a concordância da frase:

a) Aquilo seriam novidades.
(concordância com o predicativo)

b) As esperanças são sempre ele.
(Ele é sempre as esperanças)

c) Já são uma hora e cinquenta minutos.
(Já é uma hora...)
d) Duzentos reais são muito pouco.
(Duzentos reais é...)