Trecho do livro "Bruno Leal - Matemática Possível - Volume 1"

Logo abaixo você encontra uma pequena amostra de um dos capítulos do nosso livro (em formato PDF)  "Bruno Leal - Matemática Possível - Volume 1".  Esse capítulo, em particular, possui 52 exercícios resolvidos passo a passo.  O livro inteiro possui 11 capítulos e 500 questões resolvidas.  Apenas 10 reais!

LANÇAMENTO - BRUNO LEAL - MATEMÁTICA POSSÍVEL - Vol. 1

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Como brinde, você receberá 10 VÍDEO-AULAS COMPLETAS sobre os assuntos abordados no livro para auxiliar na sua

aprendizagem.

Assuntos abordados: 1) Problemas com as quatro operações fundamentais; 

2) Divisibilidade / Múltiplos e Divisores / Números Primos; 

3) MMC e MDC; 4) Números Fracionários, decimais e dízimas periódicas; 

5) Sistema Métrico Decimal; 6) Razões e Proporções; 7) Regras de Três; 

8) Porcentagem; 9) Juros Simples; 10) Problemas do Primeiro Grau 

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Capítulo 10
O Primeiro Grau
Prof. Bruno Leal

            Nessa aula, vamos estudar alguns problemas clássicos que são resolvidos através de equações ou sistemas de equações do primeiro grau.  Acompanhe com bastante atenção cada etapa das resoluções.

Vamos, antes de analisar os exercícios, lembrar alguns cálculos corriqueiros envolvendo termos literais que acabam confundindo muitos alunos.  “x” representa um número real qualquer.

1) x + x = 2x (um número adicionado a si mesmo é igual ao seu dobro);

2) x – x = 0 (um número subtraído de si mesmo é igual a zero);

3) x . x = x² (um número multiplicado por si mesmo é igual ao seu quadrado – muitos erram escrevendo 2x em vez de x²);

4) x : x = 1 (um número, diferente de zero, dividido por si mesmo é igual a 1 – muitos erram escrevendo x em vez de 1);

5) Não podemos adicionar, nem subtrair, “quem tem letra” com quem “não tem”.  Por exemplo:  2x + 1 NÃO É IGUAL a 3x.
Mas podemos multiplicar, por exemplo, 2x por 3:  dá 6x, da mesma forma que dividindo, por exemplo, 8x por 2 dá 4x. 

TRADUÇÃO PARA A LINGUAGEM ALGÉBRICA:

1) Um número → vamos representar uma quantidade desconhecida por x;

2)  Dois números → x e y;

3)  A soma de dois números → x + y;

4)  A diferença entre dois números → x – y;

5)  O dobro de um número → 2 . x ou simplesmente 2x;

6) O triplo de um número → 3x;

7)  O dobro de um número somado com o seu triplo → 2x + 3x;

8)  O dobro de um número somado com o triplo de outro → 2x + 3y;

9)  O quadrado de um número → x²;

10)  O quadrado de um número subtraído do dobro de outro → x² – 2y;

11)  A soma dos quadrados de dois números → x² + y²;

12)  O quadrado da soma de dois números → (x + y)²;

13)  O produto da soma de dois números pela diferença deles →
(x + y)(x – y);

14)  O oposto de um número →  – x;

15)  O inverso de um número →  1/x;

16)  O produto entre três números → x . y . z;

17)  O quociente (a razão) entre dois números → x/y;

18)  O cubo de um número → x³;

19)  Dois números consecutivos → x e x + 1;

20)  Um número inteiro par → 2x, sendo x um inteiro;

21)  Um número inteiro ímpar → 2x + 1, sendo x um inteiro;

22)  Um inteiro múltiplo de 5 → 5x, sendo x um inteiro.

Há muitas outras possibilidades de “tradução”, que serão analisadas conforme surgirem.  Vejamos os exercícios a partir de agora.

01.       (Escola de Sargentos das Armas – ESA) A soma de dois números naturais consecutivos é 11. O produto entre eles é:

Solução:  Números naturais consecutivos (ou sucessivos) são números que vêm um logo após o outro na sequência dos números naturais, por exemplo:  12 e 13; 192, 193 e 194, etc...

Nós não sabemos quais são os números:  podemos representá-los por x e x + 1, pois o 2º número é uma unidade maior que o 1º.

Como a soma deles é 11, podemos escrever:  x + x + 1 = 11  → 
2x + 1 = 11 → 2x = 11 – 1  →  2x = 10  →  x = 10/2 →  x = 5. 

Portanto, o outro número será o consecutivo de 5, ou seja, 5 + 1 = 6.

Notemos que o enunciado pediu o produto entre eles, ou seja,
5 . 6 = 30.

GABARITO:  30

02.       A soma de três números inteiros consecutivos é 51. O maior desses números é:

Solução:  Como no anterior, os números são:  x, x + 1 e x + 2 (eles aumentam de 1 em 1).  Como a soma deles é 51, vem:
x + x + 1 + x + 2 = 51  →  3x + 3 = 51  →  3x = 51 – 3  →  3x = 48  → 
x = 48/3  →  x = 16.

Os demais números são 17 e 18, sendo este o maior dos números.

GABARITO:  18

03.       A soma de quatro números ímpares consecutivos é 72.  O menor desses números é:

Solução:  Os números ímpares se sucedem DE DOIS EM DOIS, por exemplo:  5, 7 e 9; 11, 13, 15 e 17, etc...

Logo, indicando o menor dos números por x, os demais são x + 2, x + 4 e x + 6. 

Como a soma deles é 72, podemos montar a seguinte equação:

x + x + 2 +  x + 4 + x + 6 = 72  →  4x + 12 = 72  →  4x = 72 – 12  → 
4x = 60 →  x = 15, que é justamente o menor dos números.

GABARITO:  15

04.       (ESA) Dois amigos têm juntos 80 selos. O mais velho possui o triplo do mais novo. O mais velho possui:

Solução:  Se o mais velho possui o triplo do mais novo, podemos representar a quantidade de selos do mais novo por x e do mais velho, 3x. 

Como os dois juntos possuem 80 selos, podemos escrever a seguinte equação:  x + 3x = 80  →  4x = 80  →  x = 20 e o mais velho, 3 . 20 = 60 selos.

GABARITO:  60

05.       (Escola de Especialistas da Aeronáutica – EEAR) São dados dois números, tais que o maior é o triplo do menor. Multiplicando-se o maior por 3 e o menor por 4, a soma dos produtos fica igual a 39. A diferença entre os dois números é:

Solução:  Se o maior é o triplo do menor, podemos representar os números por x e 3x. 

1º)  Multiplicando o maior por 3  →  3 . 3x = 9x

2º)  Multiplicando o menor por 4  →  4 . x

3º)  Soma dos produtos igual a 39  →  9x + 4x = 39  →  13x = 39  → 
x = 3, logo, o maior é 3 . 3 = 9 e a diferença entre eles, 9 – 3 = 6.

GABARITO:  6

06.       Uma fita de vídeo foi programada para gravar 6 horas.  Quanto tempo já se gravou se o que resta para terminar a fita é o dobro do que já passou?

Solução:  Sendo x o número de horas já gravadas, 2x será o número de horas que restam para terminar a fita, já que este número é o dobro do que já se gravou. 

Adicionando o que já foi gravado com o que ainda resta, teremos as 6 horas da fita:  x + 2x = 6  →  3x = 6  →  x = 2 horas.

GABARITO:  2 h

07.       (Colégio Militar do Rio de Janeiro – CMRJ)  Quando minhas 2 primas gêmeas nasceram, eu tinha 7 anos.  Hoje, se somarmos as nossas idades, teremos juntos 76 anos.  A diferença entre a minha idade daqui a 3 anos e a idade das minhas primas há 3 anos é:

Solução:  Se quando minhas primas nasceram eu tinha 7 anos, então isto significa que tenho 7 anos a mais que elas. 

Sendo x as idades atuais das gêmeas, x + 7 será a minha idade atual.  O enunciado permite escrever que x + x + x + 7 = 76  (lembre-se que são duas primas gêmeas)  →  3x = 76 – 7  →  3x = 69  →  x = 23.

Portanto, minha idade atual  é:  23 + 7 = 30 anos e daqui a 3 anos, 30 + 3 = 33.  A idade das minhas primas há 3 anos é 23 – 3 = 20. 

A diferença pedida é, portanto, 33 – 20 = 13 anos  (note o jogo de palavras da pergunta, envolvendo idades no futuro e no passado).

GABARITO:  13

08.       (Fuzileiros Navais)  No estacionamento de um “Shopping” há apenas carros e motos, totalizando 110 veículos.  O total de carros é igual a 9 vezes ao de motos.  A quantidade de motos estacionada é:

Solução:  Sendo c o número de carros e m, o de motos, podemos escrever que c + m = 110 além de c = 9m.

Substituindo na primeira equação, temos:  9m + m = 110  →  10m = 110  →  m = 11

GABARITO:  11

09.       (Fuzileiros Navais)  Helga e Isabele têm juntas R$ 350,00. Helga possui R$ 80,00 a mais do que o dobro da quantia de Isabele.  O valor que cada uma possui, respectivamente, é:

Solução:  Representemos as quantias de Helga e Isabele, respectivamente, por h e i.

A primeira frase do enunciado nos permite escrever que h + i = 350.

Como Helga possui R$ 80,00 a mais do que o dobro da quantia de Isabele, vem:  h = 80 + 2.i;

Substituindo na primeira equação, temos:  80 + 2i + i = 350  →  3i = 350 – 80  →  3i = 270  →  i = 90 reais, portanto,
h = 350 – 90 = 260 reais.

GABARITO:  Helga, 260 reais e Isabele, 90 reais

10.       (Polícia Militar do Estado do Rio de Janeiro – PMERJ)  João e Pedro têm que despachar 240 processos ao todo, sendo que João deverá despachar 60 processos a mais que Pedro.  Neste caso, caberá a Pedro o seguinte número de processos:

Solução: Podemos representar os processos de João por J e os de Pedro por P.   O enunciado nos diz que J + P = 240 e J = 60 + P. 

Substituindo, na primeira equação, J por 60 + P (pois são rigorosamente iguais), vem:  60 + P + P = 240  →  2P = 240 – 60  → 
2P = 180  →  P = 90.

GABARITO:  90

11.       (EEAR)  A soma de dois números é 93, o quociente do maior pelo menor é 9 e o resto dessa divisão é 3.  A soma dos algarismos do maior número vale:

Solução: Representemos o maior por x e o menor, por y.  Como a soma deles é 93, podemos escrever que x + y = 93

Se o quociente (resultado de uma divisão) é 9 e o resto 3, podemos, utilizando a propriedade fundamental da divisão (prova real → dividendo = divisor x quociente + resto) escrever:  x = 9y + 3;

Substituindo o valor de x em função de y acima na primeira equação, temos:  9y + 3 + y = 93  →  10y = 93 – 3  →  10y = 90 →  y = 9;

Como a soma deles é 93 e um deles é o 9, o outro será 93 – 9 = 84, cuja soma dos algarismos é 8 + 4 = 12.

12.       (CMRJ)  Numa divisão inexata o quociente é 15 e o resto 2.  Adicionando-se 15 ao dividendo e mantendo-se o mesmo divisor, o novo quociente será 20 e o resto continuará sendo 2.  Nesta divisão a soma do dividendo inicial e do divisor é:

Solução:  Sendo D o dividendo original e d, o divisor, podemos escrever:

1º)  D = d x 15 + 2

2º)  D + 15 = d x 20 + 2 →  substituindo o valor de D da primeira equação na segunda, ficamos com:  d x 15 + 2 + 15 = d x 20 + 2  → 
15 = 20d – 15d  →  15 = 5d  →  d = 3

3º)  Logo, D = 3 x 15 + 2  →  D = 47, e a soma do dividendo e do divisor originais é 47 + 3 = 50.

GABARITO:  50