Diário do Leal Concursos - 11/12/17 - Divisibilidade - Parte 2 - Diversas questões resolvidas!

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19) Calcule o menor número que deve ser somado a 34.829, para que se obtenha um número divisível por 3.

Solução: 1) 4 + 8 + 2 = 14;
2) 14 + x → M(3) → 14 + x = 15 → x = 1.

20) Dado 3.y7z, substitua as letras por algarismos, de modo que se obtenha um número divisível por 2, 3, 5, 9 e 10.

Solução: 1) M(2), M(5) e M(10) → M(10) → z = 0;
2) M(3) e M(9) → M(9) → 3 + y + 7 + 0 = M(9) → 10 + y = 18 → y = 8.

21) Dado 3.y7z, substitua as letras por algarismos, de modo que se obtenha um número divisível, ao mesmo tempo, por 2 e 3. Quantos pares ordenados (y, z) satisfazem o enunciado?

Solução: 1) z é par;
2) 3 + y + 7 + z = M(3) → 10 + y + z = M(3)
Se z = 0 → 10 + y = M(3) → 10 + y = 12 → y = 2 ou 5 ou 8;

Se z = 2 → 10 + y + 2 = M(3) → 12 + y = 12 → y = 0 ou 3 ou 6 ou 9;
Se z = 4 → 10 + y + 4 = M(3) → 14 + y = 15 → y = 1 ou 4 ou 7;

Se z = 6 → 10 + y + 6 = M(3) → 16 + y = 18 → y = 2 ou 5 ou 8;
Se z = 8 → 10 + y + 8 = M(3) → 18 + y = 18 → y = 0 ou 3 ou 6 ou 9.

Total: 17 pares.

22) Dado o número 3.y8z, substitua as letras por algarismos, de modo que se obtenha um número divisível por 9 e por 10.

Resp.: y = 7 e z = 0

23) Qual é o menor número a ser subtraído de 51.389, para se obter um múltiplo de 3? E qual é o menor número que se deve somar?

Solução: 5 + 1 + 8 → 8 : 3 → resto 2.
Logo, devemos diminuir 2 unidades e adicionar uma unidade.

24) Escreva o maior número de quatro algarismos diferentes, divisível por 5 e por 9.

Solução: 1) M(5) e M(9) → M(45);
2) 10000 : 45 → quociente 222 e resto 10.  Logo, 10000 – 10 = 9990 é M(45) (não serve, pois há algarismos iguais);
3) 9990 – 45 = 9945 → não serve;
9945 – 45 = 9900 → não serve;
9900 – 45 = 9855 → não serve;
9855 – 45 = 9810 → serve.

25) No número 3y5.z4w, determine y + z + w, de modo que se obtenha um número, ao mesmo tempo divisível por 5 e por 9.

Solução: 1) w = 0 → 3 + y + 5 + z + 4 = M(9) →
12 + y + z = M(9) → 12 + y + z = 18 → y + z = 6 ou 6 + 9 = 15;
2) w = 5 → 3 + y + 5 + z + 4 + 5 = M(9) → 17 + y + z = M(9) → 17 + y + z = 18 → y + z = 1 ou 1 + 9 = 10.
3) Em ambos os casos, y + z + w = 6 ou 15.

26) Qual é o menor número que se deve somar a 7.315 para que se obtenha um número divisível por 3?

Resp.: 2

27) Substitua as letras a e b por algarismos no número 2a3b, de modo que se obtenha um número divisível por 9 e que, dividido por 10, dê o resto 2.

Resp.: a = b = 2

28) Qual é o número de três algarismos divisível por 2, por 5 e por 9, cujo algarismo das centenas é 8?
Resp.: 810

29) Escreva o menor número de quatro algarismos que seja ao mesmo tempo divisível por 2, 5 e 9.

Solução: 1) M(2), M(5) e M(9) → M(90);
2) 1000 : 90 → quociente 11 e resto 10;
3) Para que passemos a ter um M(90), precisamos adicionar ao 1000 um total de 90 – 10 = 80 unidades, obtendo 1080.

30) Qual deve ser o valor do algarismo y em 1.y24 para que sejam iguais os restos das divisões desse número por 9 e por 10?

Solução: 1) Se o número termina em 4, então o resto desse número por 10 é igual a 4;
2) 1 + y + 2 + 4 = M(9) + 4 → 7 + y = 9 + 4 → y = 6.

31) Qual o número, ao mesmo tempo, divisível por 2, 3 e 5?

a) 453   b) 738   c) 930   d) 1.035

32) O número 123.4y6 é divisível por 7. Determine o valor absoluto do algarismo y.

Solução: 1) Se dois números inteiros a e b são divisíveis por k,  então (a + b) também é divisível por k.

Ex.:  Se 14 e 35 são M(7), então 14 + 35 = 49 também é divisível por 7.

1) 123400 : 7 → quociente 17628 e resto 4. Logo, o menor M(7) após 123400 é o 123403;
2) Logo, também serão M(7): 123410, 123417, 123424, 123431, 123438, 123445, 123452, 123459 e 123466.
Resp.: y = 6.

33) Determine o algarismo b, para que o número 538.43b seja divisível por 2 e por 3.
Resp.: b = 4

34) Dos números 2.160, 4.305, 8.202, 5.130 e 8.210, diga aqueles que são divisíveis, ao mesmo tempo, por 2, 3 e 5.

Resp.: 2160 e 5130

35) Determine o valor do algarismo a para que o número 7.52a seja divisível por 2 e por 3.
Resp.: a = 4

36) Escreva o menor número de quatro algarismos diferentes divisível, ao mesmo tempo, por 5 e por 9.

Solução: 1) M(5) e M(9) → M(45);
2) 1000 : 45 → quociente 22 e resto 10;
Logo, 1000 + 35 = 1035, que é a resposta.

37) Calcule y e z, de modo que o número 3y4.5z8 seja divisível
por 99.

Solução: 1) M(99) = M(9) e M(11);
2) 3 + y + 4 + 5 + z + 8 = M(9) → 20 + y + z = 27 → y + z = 7;
3) + 8 – z + 5 – 4 + y – 3 = M(11) → 6 + y – z = 11 → y – z = 5;

4) Adicionando as duas equações: 2y = 12 → y = 6;
6 + z = 7 → z = 1.

38) Calcule o número de quatro algarismos que satisfaça, ao mesmo tempo, às seguintes condições

a) seja divisível por 4, por 5 e por 9;

b) o valor absoluto do algarismo dos milhares exceda o valor absoluto do das unidades de três;

c) o valor absoluto do algarismo das centenas seja o dobro do valor absoluto do algarismo das dezenas.

Solução: 1) Número: m c d u → (u + 3) 2d d u;
2) Para o número ser divisível por 4 e por 5, u = 0 →
Número: (0 + 3) 2d d 0 → 3 2d d 0 ;
3 + 2d + d + 0 = M(9) → 3d + 3 = 9 → 3d = 6  → d = 2.
Número: 3 4 2 0 → serve, pois 20 é M(4).

39) Certo número é composto de três unidades de oitava ordem, duas de sétima, uma de quinta, cinco de quarta e duas de terceira. Escreva o algarismo das unidades de primeira ordem, de modo que o número seja ao mesmo tempo divisível por 5 e por 9.

Solução: 1) Número: dM uM cm dm um c d u  →
3 2 0 1 5 2 0 u;
2) u = 0 → 3 + 2 + 0 + 1 + 5 + 2 + 0 = 13 → não é M(9);
u = 5 → 3 + 2 + 1 + 5 + 2 + 5 = 18 → M(9).
Resp.: 5

40) Substitua em 38.a2b as letras a e b por algarismos, de maneira que o número resultante seja, ao mesmo tempo, divisível por 2, 5 e 9.
Resp.: a = 5 e b = 0

41) Que algarismo deve ser escrito no lugar da letra a, para que o número 356a4 seja, simultaneamente, divisível por 4 por 9?
Resp.: a = 0

42) Escreva um número de cinco algarismos divisível, ao mesmo tempo, por 5, 9 e 10.
Resp.:  há diversas possibilidades. Exemplo: 54000.

43) O número 71.a3b é divisível, ao mesmo tempo, por 2, por 5 e por 9.  Determine os valores absolutos dos algarismos a e b.

Resp.: a = 7 e b = 0

44) Determine x e y de modo que o número N = 28x.75y seja divisível por 33.

Solução: 1) M(33) = M(3) e M(11);
1) 2 + 8 + x + 7 + 5 + y = M(3) → 10 + x + y = 12 → x + y = 2, 5, 8, 11, 14 ou 17.

2) y – 5 + 7 – x + 8 – 2 = M(11) → y – x + 8 = 11 → y – x = 3;
Analisando as possibilidades: y = 9 e x = 3 → não serve, pois a soma é 12, não listada acima.
y = 8 e x = 5 → não serve, pois a soma é 13, também não listada acima;
y = 7 e x = 4 → serve, pois a soma é 11, uma das possibilidades listada acima.

Resp.: 4 e 7

45) Dê exemplos de um número de cinco algarismos, ao mesmo tempo divisível por 2, 3, 5 e 9.
Resp.: diversas possibilidades, exemplos: 90000, 99990...

46) Calcule o menor número que deve ser somado a 3.854, para que se obtenha um múltiplo de 9, e o menor número que se deve diminuir, para obter-se um múltiplo de 3.

Resp.: 7 e 2

47) O algarismo das unidades de um número, que somente Jean conhece, é o 9, e a soma dos valores absolutos dos algarismos do mesmo número é 67.  Determine os restos das divisões desse número, que você não conhece, por 2, por 3, por 5 e por 10.

Solução: Número: ... c d 9, com no mínimo 8 algarismos;
Por 2 → resto 1;
Por 3 → 67 → 6 + 7 = 13 → resto 1;
Por 5 → resto 9 – 5 = 4;
Por 10 → resto 9.

48) Escreva o menor número de seis (6) algarismos, ao mesmo tempo, divisível por 2, 3, 5 e 9.

Resp.: 100.080

49) Que algarismo deve substituir a letra m, para que o número 5.8m6 seja divisível, simultaneamente, por 3 e por 4?

Resp.: 5

50) Escreva o menor número possível com os algarismos 5, 7, 8 e 3. Quantas dezenas têm o número escrito?

Solução: O menor número possível é 3578, que possui 357 dezenas.

51) Substitua as letras A e B, de modo que o número 5A.38B seja divisível, ao mesmo tempo, por 5, 9 e 10.
Resp.: 2 e 0

52) O número 71.a3b é divisível, ao mesmo tempo, por 2, por 5 e por 9. Quais os valores absolutos dos algarismos a e b?
Resp.: 7 e 0

53) Determine o menor número a ser subtraído de 4.574 para que se obtenha um número, ao mesmo tempo, divisível por 9 e por 2.
Resp.: 2

54) Determine um número de três algarismos que, diminuído de três unidades, seja divisível por 5 e por 14, e ainda, que a soma de seus algarismos seja igual a 14.

Solução: 1) Se o número fosse M(14) e M(5), seria também M(7) e M(2).  Logo, o algarismo das unidades tem seria zero. Como ele deixa resto 3, logo, u = 3;

2) Número: c d 3 → c + d + 3 = 14 → c + d = 11;
Possibilidades: 293, 923, 383, 833, 473, 743, 563 e 653.
Testando, só serve o 563.

55) Qual é menor número de três algarismos que, dividido por 5 e por 9, deixa resto 4?

Solução: 1) Testando u = 4 → 1 + d + 4 = M(9) + 4 → 5 + d = 13 → d = 8 → número 184;
2) Testando u = 9 → 1 + d + 9 = M(9) + 4 → 10 + d = 13 → d = 3 → número 139, que é a resposta.

56) Dado o número 70.703, substitua os zeros por algarismos significativos iguais, de maneira que o novo número assim formado, dividido por 5 ou por 9, gere o mesmo resto.

Solução: Número: 7x7x3 → resto 3 na divisão por 5 e por 9;
7 + x + 7 + x + 3 → M(9) + 3 → 17 + 2x = 18 + 3 → 2x = 4 → x = 2.