Prof. Bruno Leal Resolve - Matemática - IX - Questões sobre Médias

19.  Uma empresa automobilística produziu durante o primeiro trimestre de 2013, respectivamente, 2000, 1000 e 3000 veículos por mês, então qual foi a produção média nesse trimestre?

Solução:  A média aritmética (ou simplesmente média) entre n números é dada pela soma de todos os n números dividida por n, a quantidade de números envolvidos.  Ou seja:  M = S_n / n.

No nosso caso, n = 3, pois se pede a média entre 3 numeros.

Aplicando a definição acima, temos que a M = S₃ / 3 → M = (2000 + 1000 + 3000) / 3 → M = 6000/3 → M = 2000.

GABARITO:  2000

20.  A média aritmética de 6 números é 4.  Acrescentando-se a esse conjunto um sétimo número, a nova média passa a ser 6.  Qual é o sétimo número?

Solução:  1)  A média inicial é dada pela soma dos 6 números dividida por 6, a quantidade de números.  Ou seja:  M = S₆ / 6 → S₆ / 6 = 4 → S₆ = 24.

Portanto, a soma dos 6 números iniciais é 24.

2)  Quando acrescentamos um sétimo número, digamos, x, a soma desses 7 números será dada por 24 + x e a nova média, por (24 + x) / 7 = 6.

Resolvendo a equação, vem:  24 + x = 42 → x = 18.

GABARITO:  18

21.  (CESPE)  Duas turmas fizeram a mesma prova.  A primeira com 20 alunos obteve  média 80.  A segunda com 30 alunos obteve média 70.  A média das notas de todos os 50 alunos foi igual a 75.

Solução:  1)  Média da Turma 1:  S₂₀ / 20 = 80 → S₂₀ = 1600.

Ou seja, a soma de todas as notas da Turma 1 é 1600.

2)  Média da Turma 2:  S₃₀ / 30 = 70 → S₃₀ = 2100.

Logo, a soma de todas as notas da Turma 2 é 2100.

3)  A média de todos os 50 alunos será dada pela soma das 50 notas dividida por 50:  (1600 + 2100) / 50 → 3700 / 50 = 74.

GABARITO:  ERRADO

22.  A média aritmética de 96 números, dentre os quais 65 e 67, é 19.  Suprimindo-se esses dois números, a média do novo conjunto de números é:

Solução:  1)  Média de 96 números iniciais igual a 19:  S₉₆ / 96 = 19 → S₉₆ = 1824.

2)  Suprimindo-se o 65 e o 67, ocorrem duas coisas:  a soma de todos os números deixa de ser 1824 e passa a ser 1824 – 65 – 67 = 1692 e passamos a ter na lista 94 números.

3)  A nova média é, pois:  1692 / 94 = 18.

GABARITO:  18

23.  A média aritmética de 5 números é igual a 40.  Se, ao eliminarmos dois deles a média se torna igual a 36, então qual a média dos números eliminados?

Solução:  1)  Média de 5 números igual a 40:  S₅ / 5 = 40 → S₅ = 200.

2)  Suprimindo-se dois números, digamos x e y, a nova soma é (200 – x – y) e passamos a ter 3 números na nossa lista.

3)  A média desses 3 números é igual a 36:  (200 – x – y) / 3 = 36 → 200 – x – y = 108 → 92 = x + y.

4)  Note que não conseguimos descobrir os valores de x e y, mas o enunciado não os pede, e sim, a média entre x e y.  E tal média é dada pela soma entre x e y dividida por 2.  Como x + y = 92, a média entre eles é 92 / 2 = 46.

GABARITO:  46

24.  A media aritmética das idades de um grupo de 90 pessoas é de 40 anos.  Se a média aritmética das idades das mulheres é de 30 anos e as dos homens, 45, então o número de pessoas do sexo masculino é:

Solução:  1)  Vamos indicar a quantidade de homens por h e a de mulheres, m.  Podemos escrever que h + m = 90;

2)  Média das idades dos h homens:  S_h / h = 45 → S₄₅ = 45h;

3)  Média das idades de m mulheres:  S_m / m = 30 → S₃₀ = 30m;

4)  Média das idades das 90 pessoas:  S₉₀ / 90 = 40 → S₉₀ = 3600 →

45h + 30m = 3600.

5)  Multiplicando por 30 a primeira equação, vem:  30h + 30m = 2700 → subtraindo essa equação da obtida no item 4), vem:  15h = 900 →
h = 60.

GABARITO:  60

25.  (Escola Naval)  Em uma Base Naval havia 18 oficiais.  Um deles foi para a reserva e substituído por outro de 22 anos.  Com isso a média das idades dos oficiais diminuiu em 2 anos.  Determine a idade do oficial que foi para a reserva.

Solução:  1)  Média dos 18 oficiais iniciais:  S₁₈ / 18 = m → S₁₈ = 18.m;

2)  Houve a substituição entre um oficial de idade x por outro de 22 anos.  Logo, a soma das idades DIMINUI em x anos e AUMENTA em 22 anos, passando a ser (18m – x + 22);

3)  A nova média é m – 2.  Note que continuamos tendo 18 oficiais.  Podemos escrever que (18m – x + 22) / 18 = m – 2 →

18m – x + 22 = 18m – 36 → cancelando os 18 m → 22 + 36 = x →
58 = x.

GABARITO:  58 anos

26.  (ESA/2009)  A média aritmética das notas de Matemática em uma turma de 25 alunos em um dos doze Colégios Militares existentes no Brasil diminui em 0,1, se alterarmos uma das notas para 6,8. A referida nota sem ser alterada é:

Solução:  1)  Média original:  S₂₅ / 25 = m → S₂₅ = 25m;

2)  Chamando a nota alterada de x, temos que a nova soma das notas é (25m – x + 6,8);

3)  Nova média:  (25m – x + 6,8) / 25 = m – 0,1 → 25m – x + 6,8 = 25m – 2,5 → 6,8 + 2,5 = x → 9,3 = x.

GABARITO:  9,3.

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